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从平面外一点A向平面引斜线AB AC,斜足为B C ,AB垂直AC,且AB=2,直线AB与平面呈30度角 ,则线段AC长的取值范围是多少?

admin4个月前 (04-19)每日一学602

从平面外一点A向平面引两条斜线AB和AC,其中AB垂直于AC,AB的长度为2,且直线AB与平面的夹角为30度。

由于AB与平面呈30度角,我们可以想象AB是斜靠在平面上的一个梯子,它与地面的夹角是30度。那么,AB在平面上的“影子”(即AB在平面上的投影)长度就是AB乘以cos30度,这个值是\\sqrt{3}(因为cos30度等于\\frac{\\sqrt{3}}{2},所以2乘以\\frac{\\sqrt{3}}{2}等于\\sqrt{3})。

现在,考虑AC的长度。由于AB垂直于AC,AC的最小长度就是0(当AC与AB的投影重合时)。但AC不能无限制地增长,它受到AB与平面夹角以及AB长度的限制。当AC与AB的投影垂直时,AC达到其最大长度。AC、AB的投影和AB构成一个直角三角形,其中AB是斜边,长度为2,AB的投影是直角边之一,长度为\\sqrt{3}。利用勾股定理,我们可以求出另一个直角边AC的最大长度为1(因为2^2 - \\sqrt{3}^2 = 4 - 3 = 1,所以AC的最大长度的平方是1)。

这里我们需要注意,由于AC是从点A出发的斜线,它实际上可以在与AB的投影垂直的方向上无限远离点B的投影(但始终保持在平面内),只是它的“起始部分”(即从A到与AB投影垂直的那一点)的长度是1。在这个问题中,我们只关心AC从A点出发到平面上的某一点的长度,所以AC的最大长度就是1(在这个特定情境下,我们可以认为AC不会“穿过”平面继续增长,而是只考虑它从A点到平面上的某一点的长度)。

但实际上,从几何意义上来说,只要AC保持在平面内并与AB垂直,它的长度可以大于1,只是超出1的部分不会增加它与AB在平面上的投影构成的直角三角形的斜边长度。但在这个问题的语境下,我们通常认为AC的长度是指它从A点到与平面相交的那一点的距离,所以AC的长度有一个上限,即1。为了更严谨地回答这个问题,我们应该说AC的长度可以大于1(在平面内),但在这个特定问题中,我们通常只考虑AC从A点到其与平面相交的那一点的长度,所以其“有效长度”的取值范围是[0,1]。但为了避免混淆,并考虑到问题的实际意图,我们可以简化答案说AC的长度取值范围是(0,1](不包括0是因为AC是一个线段,其长度不能为0;包括1是因为当AC与AB的投影垂直时,其长度达到最大值1)。但更精确的表述应该是考虑到AC作为从A点出发的斜线,在平面上可以无限延伸,只是在这个问题中我们只关心其到平面的交点的距离。

并为了符合问题的实际意图和避免混淆,我们可以说:在这个问题中,线段AC的长度的取值范围是(0, 正无穷大),但如果只考虑AC从A点到其与平面相交的那一点的“有效长度”,则取值范围是(0,1](注意:这里的表述是为了兼顾问题的实际意图和几何意义的严谨性;在严格的几何意义上,作为从A点出发并在平面内延伸的斜线,AC的长度可以无限大)。在大多数实际情境和考试环境中,我们通常会采用后一种表述方式,即AC的长度取值范围是(0,1]。

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