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一、线性插值法步骤（以两点为例）

1. 确定已知点：选取相邻的两个数据点 ((x_1, y_1)) 和 ((x_2, y_2))，确保 (x) 位于 (x_1) 和 (x_2) 之间。

2. 计算斜率：

[

m = frac{y_2

y_1}{x_2

x_1}

]

3. 建立直线方程：

[

y = y_1 + m cdot (x

x_1)

]

4. 代入目标点：将待求的 (x) 值代入方程，求得 (y)。

示例：已知 ((1, 2)) 和 ((3, 4))，求 (x=2) 时的 (y)：

[

y = 2 + frac{4-2}{3-1} cdot (2-1) = 3

]

二、多项式插值法（如拉格朗日插值）

1. 选择节点：确定 (n+1) 个互异节点 ((x_i, y_i))。

2. 构造基函数：对每个节点 (x_k)，构建拉格朗日基函数：

[

l_k(x) = prod_{i

eq k} frac{x

x_i}{x_k

x_i}

]

3. 组合多项式：将基函数与对应 (y_k) 加权求和：

[

L(x) = sum_{k=0}^n y_k cdot l_k(x)

]

该多项式严格通过所有节点。

三、牛顿插值法

1. 构造差商表：计算各阶差商（如 (f[x_0, x_1] = frac{y_1

y_0}{x_1

x_0})）。

2. 递推多项式：利用差商构建牛顿多项式：

[

P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x

x_0) + cdots + f[x_0, ldots, x_n](x

x_0)cdots(x - x_{n-1})

]

新增节点时只需追加项，无需重新计算。

四、误差与注意事项

误差分析：插值误差与节点间距、函数高阶导数相关，可通过余项公式 (R(x) = f(x)

P(x)) 评估。

龙格现象：高阶多项式插值可能在区间边缘振荡，建议采用分段低阶插值（如样条插值）。

五、应用场景

线性插值：适用于数据变化平缓的场景（如温度估算）。

多项式插值：适合精确拟合离散点（如实验数据建模）。

财务计算：内插法用于求解隐含利率或折现率，公式与线性插值类似。

代码实现可参考线性插值的Python示例：

```python

def linear_interpolation(x0, y0, x1, y1, x):

if x0 <= x <= x1:

slope = (y1

y0) / (x1

x0)

return y0 + slope (x

x0)

else:

raise ValueError("x超出范围")

```